题目内容
【题目】如图所示,是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖(假设湖岸是笔直的),其中两腰
米,
.为了给市民营造良好的休闲环境,公园管理处决定在湖岸
,
上分别取点
,
(异于线段端点),在湖上修建一条笔直的水上观光通道
(宽度不计),使得三角形
和四边形
的周长相等.
(1)若水上观光通道的端点为线段
的三等分点(靠近点
),求此时水上观光通道
的长度;
(2)当为多长时,观光通道
的长度最短?并求出其最短长度.
【答案】(1) 水上观光通道的长度为
米;(2) 当
米时,水上观光通道
的长度取得最小值,最小值为
米.
【解析】分析:(1)在等腰中,过点
作
于
,先计算出
,
,再利用余弦定理求出EF的长度.(2) 设
,
,先求出EF的表达式,再利用基本不等式求其最短长度.
详解:(1)在等腰中,过点
作
于
,
在中,由
,即
,∴
,
,
∴三角形和四边形
的周长相等.
∴,即
,
∴.
∵为线段
的三等分点(靠近点
),∴
,
,
在中,
,
∴米.
即水上观光通道的长度为
米.
(2)由(1)知,,设
,
,在
中,由余弦定理,得
.
∵,∴
.
∴,当且仅当
取得等号,
所以,当米时,水上观光通道
的长度取得最小值,最小值为
米.
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