Question

3．已知函数y=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$
（1）求函数的定义域和值域；
（2）用定义判定函数的奇偶性；
（3）作函数在[0，π]内的图象；
（4）求函数的最小正周期及单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数的值域即可得出该函数定义域为R，对原函数两边平方便可得到y²=2+2|cosx|，从而由0≤|cosx|≤1即可求出值域．
（2）容易求f（-x）=f（x），从而该函数便为偶函数；
（3）可考虑用二倍角的余弦公式化简原函数，为判断开出方来的数的符号，可讨论x：$x∈[0，\frac{π}{2}]$可得到f（x）=$2cos\frac{x}{2}$，而$x∈（\frac{π}{2}，π]$时，f（x）=2sin$\frac{x}{2}$，这样便可根据三角变换的知识得出f（x）在[0，π]上的图象；
（4）由画出的f（x）在[0，π]上的图象及f（x）为偶函数，便可得到f（x）的周期为π，从而根据[0，π]上的图象即可得出f（x）的单调区间．

解答 解：（1）对任意的x∈R，1+sinx≥0，且1-sinx≥0；
∴该函数的定义域为R；
${y}^{2}=2+2\sqrt{1-si{n}^{2}x}$=2+2|cosx|；
0≤|cosx|≤1；
∴2≤y²≤4；
∴$-2≤y≤-\sqrt{2}，或\sqrt{2}≤y≤2$；
又y＞0；
∴该函数的值域为$[\sqrt{2}，2]$；
（2）设y=f（x），则f（-x）=$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1+sinx}=f（x）$；
∴该函数为偶函数；
（3）x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，$f（x）=\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1-sinx}$=$\sqrt{1+cos（\frac{π}{2}-x）}+\sqrt{1-cos（\frac{π}{2}-x）}$=$\sqrt{2}[cos（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）+sin（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）]$=$2sin（\frac{π}{2}-\frac{x}{2}）=2cos\frac{x}{2}$；
∴$x∈（\frac{π}{2}，π]$时，$f（x）=\sqrt{2}[cos（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）-sin（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）]$=$2sin\frac{x}{2}$；
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的图象是将y=cosx沿x轴拉伸为原来的2倍，沿y轴拉伸为原来的2倍得到，在（$\frac{π}{2}$，π]的图象是将y=sinx沿x拉伸2倍，y轴拉伸2倍，∴图象如下：

（4）由f（x）为偶函数及在[0，π]上的图象可以看出该函数的周期为π；
∴f（x）的单调递减区间为$[kπ，kπ+\frac{π}{2}]$，单调递增区间为$[kπ+\frac{π}{2}，kπ+π]$，k∈Z．

点评 考查函数定义域、值域的概念，正余弦函数的值域，二倍角的余弦公式，函数奇偶性的定义及判断方法，三角函数变换，函数最小正周期的概念，以及偶函数图象的对称性，周期函数单调区间的写法．