Question

5．设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求$\overline{z}$．

Answer 1

分析 设z=x+yi（x，y∈R），由|z|=5，可得x²+y²=25，再利用（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i是纯虚数，可得3x-4y=0，且4x+3y≠0，联立可解得答案．

解答 解：设 z=x+yi（x，y∈R），
∵|z|=5，
∴x²+y²=25，①
又（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i是纯虚数，
∴3x-4y=0②，
且4x+3y≠0③
联立三个关系式①②③解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴z=4+3i或z=-4-3i，
则$\overline{z}=4-3i$或$\overline{z}=-4+3i$．

点评 本题考查了复数的有关概念和模的计算公式，是基础题．