Question

3．已知等比数列{a_n}为递增数列，且$a_5^2={a_{10}}$，$2（{a_n}+{a_{n+2}}）=5{a_{n+1}}，n∈{N^*}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令${b_n}={（-1）^n}（{a_n}+1）$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式、单调性即可得出．
（2）对n分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∴${（{a_1}{q^4}）^2}={a_1}{q^9}$，解得a₁=q．
又∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，∴$2（{a_n}+{a_n}{q^2}）=5{a_n}q$，∴2q²-5q+2=0，解得q=$\frac{1}{2}$，或q=2，
∵等比数列{a_n}为递增数列，∴取q=2，∴a_n=2ⁿ．
（2）∵${b_n}={（-1）^n}（{a_n}+1）$=（-1）ⁿ+（-2）ⁿ，
n为偶数时，${S_n}=（-1+1-1+…-1+1）+\frac{{（-2）[1-{{（-2）}^n}]}}{1-（-2）}=\frac{{-2+{2^{n+1}}}}{3}$，
n为奇数时，${S_n}=（-1+1+…1-1）+\frac{{（-2）[1-{{（-2）}^n}]}}{1-（-2）}=-1-\frac{{{2^{n+1}}+2}}{3}=-\frac{{{2^{n+1}}+5}}{3}$，
∴${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{2^{n+1}}-2}}{3}（n为偶数）}\\{-\frac{{{2^{n+1}}+5}}{3}（n为奇数）}\end{array}}\right.$，
或${S_n}=\frac{{（-1）[1-{{（-1）}^n}]}}{1-（-1）}+\frac{{（-2）[1-{{（-2）}^n}]}}{1-（-2）}=\frac{{-1-{{（-1）}^{n+1}}}}{2}+\frac{{-2-{{（-2）}^{n+1}}}}{3}$=$-\frac{7}{6}+\frac{{{{（-1）}^n}}}{2}+\frac{{{{（-2）}^n}}}{3}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．