Question

18．（Ⅰ）若α，β是锐角，且$α+β=\frac{π}{4}$，求（1+tanα）（1+tanβ）的值．
（Ⅱ）已知$\frac{π}{2}＜β＜α＜\frac{3π}{4}$，且$cos（{α-β}）=\frac{12}{13}$，$sin（{α+β}）=-\frac{3}{5}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$α+β=\frac{π}{4}$，借助于两角和的正切化简求值；
（Ⅱ）由已知，把sin2α转化为sin[（α+β）+（α-β）]，展开两角和的正弦得答案．

解答 解：（I）∵$α+β=\frac{π}{4}$，
∴tan（α+β）=1．
∴（1+tanα）（1+tanβ）=tanα+tanβ+tanαtanβ+1
=tan（α+β）•（1-tanαtanβ）+tanαtanβ+1
=1-tanαtanβ+tanαtanβ+1=2．
（II）∵$\frac{π}{2}＜β＜α＜\frac{3π}{4}$，∴$π＜α+β＜\frac{3π}{2}$，$0＜α-β＜\frac{π}{4}$．
又∵$cos（{α-β}）=\frac{12}{13}$，$sin（{α+β}）=-\frac{3}{5}$，
∴$sin（α-β）=\frac{5}{13}$，$cos（α+β）=-\frac{4}{5}$，
∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）$sin（α-β）=-\frac{56}{65}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了“拆角配角”思想的应用，是中档题．