Question

4．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为$4\sqrt{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与A，B两点，过线段AB的中点与AB垂直的直线交直线x=3于P点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）依题意$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，2ab=4\sqrt{3}$，解得a²，b²的值，进而可得椭圆方程；
（2）联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，结合韦达定理，及△ABP为正三角形时，$|{MP}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{AB}|$，求出k值，可得直线l的方程．

解答 解：（1）依题意$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，2ab=4\sqrt{3}$，
可得$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{2}{3}，{a^2}{b^2}=12$…（2分）
得a²=6，b²=2．
所以所求椭圆方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$…（5分）
（2）直线l的方程为y=k（x-2），联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，
消去y并整理得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得${x_1}+{x_2}=\frac{{12{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{12{k^2}-6}}{{3{k^2}+1}}$，
所以$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{6}（{k^2}+1）}}{{3{k^2}+1}}$…（7分）
设AB的中点M（x₀，y₀），得${x_0}=\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，${y_0}=-\frac{2k}{{3{k^2}+1}}$…（8分）
得直线MP的斜率为$-\frac{1}{k}$，又x_p=3，
所以$|{MP}|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}•|{{x_0}-{x_P}}|=\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{k^2}}•\frac{{3（{k^2}+1）}}{{（3{k^2}+1）}}$…（10分）
当△ABP为正三角形时，$|{MP}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{AB}|$，
即$\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{k^2}}•\frac{{3（{k^2}+1）}}{{（3{k^2}+1）}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{2\sqrt{6}（{k^2}+1）}}{{3{k^2}+1}}$．
解得k=±1．即直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0…（12分）

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合应用，难度中档．