Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，cos2C+2

2

cosC+2=0．
（1）求角C的大小；
（2）若b=

2

a，△ABC的面积为

2

2

sinAsinB，求sinA及c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）利用正弦定理和已知等式，化简可求得cosC的值，进而求C．
（2）利用余弦定理可求得c与a的关系，进而求得sinC，然后利用三角形面积公式和已知等式求得c．

解答： 解：（1）∵cos2C+2

2

cosC+2=0．
∴2cos²C+2

2

cosC+1=0，
即（

2

cosC+1）²=0，
∴cosC=-

2

2

∵0＜∠C＜π，
∴∠C=

3π

4

．
（2）∵c²=a²+b²-2abcosC=3a²+2a²=5a²，
∴c=

5

a，
∴sinC=

5

sinA，
∴sinA=

1

5

sinC=

10

10

，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

2

2

sinAsinB，
∴

1

2

absinC=

2

2

sinAsinB，
∴

a

sinA

•

b

sinB

•sinC=（

c

sinC

）²sinC=

2

，
∴c=

2 •sinC

=1

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形的问题中应灵活运用余弦和正弦定理实现边角的转化．