Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，异面直线AD与BC₁所成角的大小为60°，求：
（1）线段A₁B₁到底面ABCD的距离；
（2）三棱椎B₁-ABC₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由AD∥BC得CBC₁=60°，由已知线段BB₁的长为线段A₁B₁到底面ABCD的距离，由此能求出线段A₁B₁到底面ABCD的距离．
（2）由VB1-ABC1=VA-BB1C1，利用等积法能求出三棱椎的体积．

解答： 解：（1）∵AD∥BC，∴∠CBC₁为异面直线AD与BC₁所成角，
∴CBC₁=60°，…（2分）
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁B₁∥面ABCD，BB₁⊥面ABCD，
∴线段BB₁的长为线段A₁B₁到底面ABCD的距离，…（4分）
∵RT△BCC₁中，BC=1，∠CBC₁=60°，∴BB1=CC1=

3

，
线段A₁，B₁到底面ABCD的距离为

3

．…（6分）
（2）VB1-ABC1=VA-BB1C1…（8分）
=

1

3

×AB×S△BB1C1
=

1

3

×1×(

1

2

×1×

3

)…（10分）
=

3

6

．…（12分）

点评：本题考查线段到平面的距离的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．