Question

18．已知椭圆C的两个焦点是F₁（-2，0），F₂（2，0），且椭圆C经过点A（0，$\sqrt{5}$）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过椭圆C的左焦点F₁（-2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q两点，求线段PQ的长（提示：|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出椭圆方程；
（2）联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式计算弦长．

解答 解：（1）由题意可知椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\\{c=2}\\{b=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，∴a=3，b=$\sqrt{5}$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（2）直线l的方程为y=x+2，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，得14x²+36x-9=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{18}{7}$，x₁x₂=-$\frac{9}{14}$，
∴|PQ|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{324}{49}+\frac{18}{7}}$=$\frac{30}{7}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，弦长公式，属于基础题．