Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由和差角的公式化简可得f（x）=sin（2x-

π

6

），易得最小正周期和最大值；（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

（2cos²x-1）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∴函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）

点评：本题考查正弦函数的单调性，涉及三角函数公式和最值，属基础题．