Question

7．已知直线l过点P（1，1），倾斜角为α，曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=\sqrt{2}sinβ\end{array}\right.$（β为参数）．
（1）求直线l的参数方程和曲线C的普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点（从左往右），且AP=3PB，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）根据根据直线参数方程的几何意义得出直线l的参数方程，消去参数得出曲线C的普通方程；
（2）联立方程组，得出A，B对应的参数的关系，根据AP=3PB列方程求出tanα即可．

解答 解：（1）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）；
曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1得：（cos²α+2sin²α）t²+2（cosα+2sinα）t-1=0，
设A，B对于的参数分别为t₁，t₂，则t₁=-3t₂，
∴t₁+t₂=$\frac{-2（cosα+2sinα）}{1+si{n}^{2}α}$=-2t₂，t₁t₂=$\frac{-1}{1+si{n}^{2}α}$=-3t₂²，
∴3（$\frac{cosα+2sinα}{1+si{n}^{2}α}$）²=$\frac{1}{1+si{n}^{2}α}$，
化简得：5sin²α+6sinαcosα+cos²α=0，解得tanα=-1或tanα=-$\frac{1}{5}$．
∴直线l的斜率为-$\frac{1}{5}$或-1．

点评 本题考查了参数方程的应用，属于中档题．