Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

），又cos（φ+

π

2

）=-

2

2

（1）求φ的值．
（2）若f（x）最大值与最小值之差等于4，其相邻两条对称轴之间的距离等于

π

2

，求函数f（x）的解析式．
（3）作出函数f（x）在区间[0，π]内的图象．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）通过cos（φ+

π

2

）=-

2

2

结合|φ|＜

π

2

，即可求出φ的值．
（2）利用f（x）最大值与最小值之差等于4，求出A，其相邻两条对称轴之间的距离等于

π

2

，求出ω，即可求函数f（x）的解析式．
（3）利用五点法通过列表，描点，画出函数的图象即可．

解答： 解：（1）∵cos（φ+

π

2

）=-

2

2

，又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

；
（2）f（x）最大值与最小值之差等于4，∴2A=4，A=2，其相邻两条对称轴之间的距离等于

π

2

，
∴T=π，∴ω=

2π

π

=2，函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+

π

4

）；
（3）f（x）=2sin（2x+

π

4

），x∈[0，π]．列对应值表：

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
f（x）	2	2	0	-2	0	2

描点，并参照弦形曲线的走向特征，用光滑曲线把各对应点顺次联结起来画图，得函数f（x）在区间[0，π]上的图象如图所示：

点评：本题主要考查用五点法作y=Asin（ωx+∅）的图象，函数的解析式的求法，求三角函数的最值，正弦函数的基本性质，属于中档题．