Question

设函数f（x）=

x2

a

-blnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为10x+2y-11=0
（1）求y=f（x）的解析式
（2）若点P为曲线y=f（x）上的点，且曲线在点P处切线的倾斜角取值范围是[0，

π

4

]，求点P的横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导函数，再求出导函数在x=1处的导数即斜率，在x=1处的函数值即为切点的纵坐标，即可求出y=f（x）的解析式；
（2）由切线倾斜角的范围得到斜率范围，求出原函数的导函数，设出P点的坐标，得到曲线C在点P处的导数，然后得到关于点P横坐标的不等式，求解不等式得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x2

a

-blnx，
∴f′（x）=

2x

a

-

b

x

，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为10x+2y-11=0，
∴f（1）=

1

2

，f′（1）=-5，
∴

1

a

=

1

2

，

2

a

-b=-5，
∴a=2，b=6，
∴f（x）=

x2

2

-6lnx；
（2）∵倾斜角α∈[0，

π

4

]，
∴tanα∈[0，1]，
设点P的坐标为（x₀，y₀），
∵tanα=f′（x₀）=x0-

6

x0

，
∴0≤x0-

6

x0

≤1，
解得[-

6

，-2]∪[

6

，3]．
∴点P的横坐标的范围为[-

6

，-2]∪[

6

，3]．

点评：本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线在某点处的导数，就是过该点的切线的斜率，属于中档题．