Question

如图所示,棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形,平面AA₁C₁C⊥平面ABCD.

(1)证明:BD⊥AA₁;

(2)证明:平面AB₁C∥平面DA₁C₁;

(3)在直线CC₁上是否存在点P,使BP∥平面DA₁C₁?

Answer 1

 (1)证明:因为底面ABCD为菱形,

所以BD⊥AC.

由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD,

平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC,

所以BD⊥平面AA₁C₁C,故BD⊥AA₁.

(2)证明:连接B₁C,AB₁,由棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁的性质知AB₁∥DC₁,A₁D∥B₁C,又AB₁∩B₁C=B₁,A₁D∩DC₁=D.

故平面AB₁C∥平面DA₁C₁.

(3)解:存在这样的点P.

因为A₁B₁ABDC,

所以四边形A₁B₁CD为平行四边形,

所以A₁D∥B₁C.

在C₁C的延长线上取点P,

使C₁C=CP,连接BP.

因为B₁BCC₁,

所以BB₁CP,

所以四边形BB₁CP为平行四边形,

则BP∥B₁C,

所以BP∥A₁D,

而BP⊄平面DA₁C₁,A₁D⊂平面DA₁C₁,

所以BP∥平面DA₁C₁.

故在C₁C的延长线上存在C₁C=CP的点P符合题意.