Question

已知函数f（x）=x²-cosx，若x₁，x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且f（x₁）＞f（x₂），则必有（　　）

• A、x₁＞x₂
• B、x₁＞|x₂|
• C、x₁＜x₂
• D、|x₁|＞x₂

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：先研究函数的性质，观察知函数是个偶函数，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，

π

2

]上f′（x）＞0，可推断出函数在y轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使f（x₁）＞f（x₂）恒成立，只需x₁，到原点的距离比x₂，到原点的距离大即可，由此可得出|x₁|＞|x₂|，在所给三个条件中找符合条件的即可．

解答： 解：函数f（x）为偶函数，f′（x）=2x+sinx，
当0＜x≤

π

2

时，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函数f（x）在[0，

π

2

]上为单调增函数，
由偶函数性质知函数在[-

π

2

，0]上为减函数．
∵f（|x₁|）＞f（|x₂|），函数f（x）在[0，

π

2

]上为单调增函数，
∴|x₁|＞|x₂|≥x₂，
由函数f（x）在上[-

π

2

，

π

2

]为偶函数得f（x₁）＞f（x₂），故D成立．
∵

π

3

＞-

π

3

，而f（

π

3

）=f（-

π

3

），
∴A不成立，同理可知B，C不成立．
故选：D．

点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，函数性质的合理运用．