Question

6．已知直线AB过定点（1，0），倾斜角为α，曲线C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{6}}}{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ为参数）
（1）求直线AB的参数方程；
（2）若直线AB与曲线C有公共点，求α的范围．

Answer 1

分析 （1）根据直线过定点求出直线方程即可；
（2）求出C的普通方程，将直线方程代入C，解出即可．

解答 解：（1）∵直线AB过定点（1，0），
故直线AB的参数方程是：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.（t为参数）$；
（2）∵C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{6}}}{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ为参数），
∴曲线C：3x²+2y²=2代入得：
3（1+tcosα）²+2（tsinα）²=2，
即（cos²α+2）t²+6tcosα+1=0，
由△=36cos²α-4（cos²α+2）≥0，
解得${cos^2}α≥\frac{1}{4}即cosα≥\frac{1}{2}或cosα≤-\frac{1}{2}$，
又$α∈[{0，π}）∴α∈[{0，\frac{π}{3}}]∪[{\frac{2π}{3}，π}）$．

点评 本题考查了求直线方程的参数式，考查参数方程和普通方程的转化以及三角函数问题，是一道中档题．