Question

16．已知向量$\overrightarrow a=（sin\frac{ωx}{2}，-sin\frac{ωx}{2}），\overrightarrow b=（cos\frac{ωx}{2}，sin\frac{ωx}{2}）（ω＞0）$，函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，x₁，x₂是函数f（x）的任意两个相异零点，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-m在$（0，\frac{π}{2}）$上无零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量乘积的关系求出f（x），然后将函数f（x）化简，令f（x）=0，表示两个零点的关系式，利用|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．即可求ω的值．
（Ⅱ）函数g（x）=f（x）-m在$（0，\frac{π}{2}）$上无零点，即y=f（x）与y=m的图象在$（0，\frac{π}{2}）$上无交点，求出f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$的最值即可m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意：函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，向量$\overrightarrow a=（sin\frac{ωx}{2}，-sin\frac{ωx}{2}），\overrightarrow b=（cos\frac{ωx}{2}，sin\frac{ωx}{2}）（ω＞0）$，
可得：$f（x）=sin\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}-{sin^2}\frac{ωx}{2}=\frac{1}{2}sinωx+\frac{1}{2}cosωx-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（ωx+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$．
 令f（x）=0
可得：$sin（ωx+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
则有：$sin（ω{x_1}+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，sin（ω{x_2}+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
当|x₁-x₂|最小时，可取$ω{x_1}+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}，ω{x_2}+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$
令${x_1}=0，{x_2}=\frac{π}{2ω}$，则有：$|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{π}{2ω}$，
因为${|{{x_1}-{x_2}}|_{min}}=\frac{π}{2}$，即：$\frac{π}{2ω}=\frac{π}{2}$，
解得：ω=1
所以ω的值为：1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（x+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$
 g（x）=f（x）-m在$（0，\frac{π}{2}）$上无零点，即y=f（x）与y=m的图象在$（0，\frac{π}{2}）$上无交点．
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$
∴$x+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$
故得$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（x+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}∈（0，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$
因此：实数m的取值范围是（-∞，0]∪（$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，相邻之间零点距离的问题的转化．利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，零点问题转化为函数与函数之间的交点问题．属于中档题．