Question

16．已知顶点在单位圆上的△ABC，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA的值；
（2）若b≥a，求2b-c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得cosA的值．
（2）由（1）可求A的值，利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2b-c=2$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{6}$），结合范围$\frac{π}{6}≤B-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，利用正弦函数的性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为2acosA=ccosB+bcosC，
由正弦定理可得，2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，
所以2sinAcosA=sin（B+C）．
因为sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$…6分
（2）由$cosA=\frac{1}{2}$，得$A=\frac{π}{3}$，
由$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，得b=2sinB，c=2sinC，
所以$2b-c=4sinB-2sinC=4sinB-2sin（\frac{2π}{3}-B）=3sinB-\sqrt{3}cosB$=$2\sqrt{3}sin（B-\frac{π}{6}）$．
因为b≥a，
所以$\frac{π}{3}≤B＜\frac{2π}{3}$，即$\frac{π}{6}≤B-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
所以$2b-c=2\sqrt{3}sin（B-\frac{π}{6}）∈[\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．