Question

5．已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线为l，若l与圆x²+y²+6x+5=0的交点为A，B，且|AB|=2$\sqrt{3}$．则p的值为4或8．

Answer 1

分析 求得圆心及半径，分类讨论，由A（-$\frac{p}{2}$，$\sqrt{3}$），则丨AH丨=$\sqrt{3}$，丨AE丨=2，则丨EH丨=1，由丨EH丨+$\frac{p}{2}$=丨OE丨或丨OE丨+丨EH丨=$\frac{p}{2}$，即可求得p的值．

解答 解：抛物线y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），准线x=-$\frac{p}{2}$，准线与x轴相交于H，
圆x²+y²+6x+5=0的标准方程（x+3）²+y²=4，则圆心E（-3，0），半径为2，
假设抛物线的准线在圆心的左侧，
由丨AB丨=2$\sqrt{3}$，则A（-$\frac{p}{2}$，$\sqrt{3}$），则丨AH丨=$\sqrt{3}$，丨AE丨=2
丨EH丨=1，则丨EH丨+$\frac{p}{2}$=丨OE丨，即1+$\frac{p}{2}$=3，则p=4，
设抛物线的准线在圆心的右侧，由丨AB丨=2$\sqrt{3}$，则A（-$\frac{p}{2}$，$\sqrt{3}$），则丨AH丨=$\sqrt{3}$，丨AE丨=2
则丨OE丨+丨EH丨=$\frac{p}{2}$，即3+1=$\frac{p}{2}$，则p=8，
∴p的值为4或8．
故答案为：4或8．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，圆的标准方程，考查分类讨论及数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．