Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=kPA。
（I）当k=1时，求证PA⊥B₁C；
（II）当k为何值时，直线PA与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为，并求此时二面角A—PC—B的余弦值。

Answer 1

（I）证明略
（II）二面角A—PC—B的余弦值是

（方法一）
（I）连接B₁P，因为在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，P为A₁C₁的中点，
AB=BC，所以B₁P⊥面A₁C。
所以B₁P⊥AP。
又因为当k=1时，
AB=BC=PA=PC，

∴AP⊥PC。
∴AP⊥平面B₁PC，
∴PA⊥B₁C。
（II）取线段AC中点M，线段BC中点N，
连接MN、MC₁、NC₁，
则MN//AB，∵AB⊥平面B₁C，∴MN⊥平面B₁C，
是直线PA与平面BB₁C₁C所成的角，

设AB=a，

即时，直线PA与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为
此时，过点M作MH，垂足为H，连接BH，
，
由三垂线定理得BH⊥PC，
所以是二面角A—PC—B的平面角。
设AB=2，则BC=2，PA=-4，，
在直角三角形中AA₁P中
，
连接MP，在直角三角形中
由，
又由，在直角三角形中BMH中，
解得，
在直角三角形BMH中

所以二面角A—PC—B的余弦值是
（方法二）
以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB₁为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz，
（I）设AB=2，则AB=BC=PA=2
根据题意得：
所以

（II）设AB=2，则，
根据题意：A（2，0，0），C（0，2，0）
又因为
所以，

所以由题意得
即

即时，直线PA与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为

的法向量
设平面BPC的一个法向量为

由，得，

所以此时二面角A—PC—B的余弦值是