题目内容
已知圆的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，则四边形ABCD的外接圆半径R的值为 ．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：三角函数的求值
分析：画出四边形ABCD，连接BD，在三角形ABD和三角形BCD中，分别利用余弦定理表示出cosA与cosC，根据A与C互补，得到cosA=-cosC，求出BD的长，进而求出cosA的值，得到sinA的值，在三角形ABD中，利用正弦定理即可求出四边形ABCD外接圆半径R的值．
解答：
解：根据题意画出图形，如图所示，
连接BD，在△ABD中，AB=2，AD=4，
利用余弦定理得：cosA=
=
，
在△BCD中，BC=6，CD=4，
利用余弦定理得：cosC=
=
，
∵圆内接四边形ABCD，
∴∠A+∠C=180°，即cosA=-cosC，
∴
=-
，
整理得：BD=2
，
∴cosA=
=-
，
∴sinA=
=
，
利用正弦定理得：
=2R，
则R=
=
=
．
故答案为：
解：根据题意画出图形，如图所示，连接BD，在△ABD中，AB=2，AD=4，
利用余弦定理得：cosA=
| AB2+AD2-BD2 |
| 2AB•AD |
| 4+16-BD2 |
| 16 |
在△BCD中，BC=6，CD=4，
利用余弦定理得：cosC=
| BC2+CD2-BD2 |
| 2BC•CD |
| 36+16-BD2 |
| 48 |
∵圆内接四边形ABCD，
∴∠A+∠C=180°，即cosA=-cosC，
∴
| 20-BD2 |
| 16 |
| 52-BD2 |
| 48 |
整理得：BD=2
| 7 |
∴cosA=
| 20-28 |
| 16 |
| 1 |
| 2 |
∴sinA=
| 1-cos2A |
| ||
| 2 |
利用正弦定理得：
| BD |
| sinA |
则R=
| BD |
| 2sinA |
2
| ||||
2×
|
2
| ||
| 3 |
故答案为：
2
| ||
| 3 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及圆内接四边形的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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