Question

一个边长为2的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都相等的小正方形（如图），然后做成一个底边长为x无盖方盒：①试把方盒的容积V表示为x的函数；②x多大时容积V最大？

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：函数的性质及应用

分析：①由题设知这个无盖方盒的底面是边长为2-2x的正方形，高为x的正四棱柱，由此能把方盒的容积V表示为x的函数．
②由（1）知V=（2-2x）²x，0＜x＜1，求导数，令V′=0，得x₁=

1

3

，x₂=1（舍）．由此得到函数的单调增和单调减区间，能求出这个方盒容积的最大值和取到最大值时x的值．

解答： 解：由于是在边长为2的正方形铁片的四角各截去一个边长为x的小正方形做成一个无盖方盒，
所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为2-2x，高为x，
（1）所以，无盖方盒的容积V=（2-2x）²x，0＜x＜1，
（2）∵V=（2-2x）²x，
∴V′=12x²-16x+4；
令：V′（x）=0，即12x²-16x+4=0，
∴x=

1

3

或x=1，（0＜x＜1），
∴x=

1

3

；
当x∈（0，

1

3

）时，V′（x）＞0；    
当x∈（

1

3

，1）时，V′（x）＜0．  
因此，x=

1

3

是函数f（x）的极大值点，也就是最大值点，且最大值为

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．

点评：本题考查方盒容积的求法，考查利用导数求方盒容积的最大值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．