Question

如图，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点．
（1）当点E为AB的中点时，求证：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求点A₁到平面BDD₁的距离；
（3）当

AE

=

1

2

EB

时，求二面角D₁-EC-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由中位线定理可得EF∥BD₁，再由线面平行的判定定理可得BD₁∥平面A₁DE；
（2）建立空间直角坐标系，求得

A1B

=(0，2，-1)，面BDD₁的一个法向量，从而可求点A₁到面BDD₁的距离；
（3）确定面D₁EC的一个法向量，面DEC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答： （1）证明：连结AD₁交A₁D于F，则F为中点，连结EF，如图．
∵E为中点，∴EF∥BD₁，
又EF?面A₁DE，BD₁?面A₁DE，
∴BD₁∥面A₁DE…（3分）
（2）解：由面ABCD⊥面ADD₁A，且四边形AA₁D₁D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA，
于是以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB=2AD=2知：D（0，0，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），B（1，2，0），
∴

DB

=(1，2，0)，

DD1

=(0，0，1)，

A1B

=(0，2，-1)，
设面BDD₁的一个法向量为

n1

=（x₁，1，z₁），
∴

x1+2=0 z1=0

，∴

n1

=（（-2，1，0），∴点A₁到面BDD₁的距离d=

| A1B •n1|

|n1|

=

2 5

5

（3）解：由（2）及题意知：面D₁EC的一个法向量为n2=(

2

3

，

1

2

，1)，
面DEC的一个法向量是

DD1

=(0，0，1)，
则cosθ=

n2• DD1

|n2|•|DD1|

=

1

61 6 ×1

=

6 61

61

，
即D₁-EC-D的余弦值为：

6 61

61

…（12分）

点评：本题考查线面平行，点到面的距离，考查面面角，解题时，两法并举，注意体会．