Question

已知函数f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）+k，其中k为常数．
（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）的最大值为4，求k的值； 
（2）将f（x）图象上的点的横坐标变为原来的λ（λ＞1）倍，所得函数为g（x），设A、B是g（x）图象上任意两个相邻的最低点，线段AB与g（x）图象所围成的封闭图形的面为6π，点C是g（x）图象与y轴的交点，D是g（x）图象在y轴右侧且离y轴最近的一个对称中心，当

OC

•

OD

＜0（O是坐标原点）时，求k的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先化简函数的解析式为f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）+k=2sin（2x+

π

6

）+k+1，再求出最值，令其等于4，即可得到k的方程求出它的值．
（2）本小题可由A、B是g（x）图象上任意两个相邻的最低点，线段AB与g（x）图象所围成的封闭图形的面为6π这一条件入手求出ω的值，由此可以确定出函数图象的大体位置，再由

OC

•

OD

＜0得出k的不等式，解出其范围即可．

解答： 解：（1）f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）+k=2sin（2x+

π

6

）+k+1．
x∈[0，

π

2

]，则2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，可得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
又x∈[0，

π

2

]，f（x）的最大值为4，可得k+3=4，解得k=1．
（2）由（1）知，f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）+k=2sin（2x+

π

6

）+k+1．
∵A、B是g（x）图象上任意两个相邻的最低点，线段AB与g（x）图象所围成的封闭图形的面为6π，
∴|AB|×4=6π，解得|AB|=

3

2

π，即T=

3

2

π，故有ω=

2π

3 2 π

=

4

3

，即g（x）=2sin（

4

3

x+

π

6

）+k+1
又点C是g（x）图象与y轴的交点，D是g（x）图象在y轴右侧且离y轴最近的一个对称中心，

OC

•

OD

＜0
可得出k+1＞0，故有k＞-1．
k的取值范围k＞-1．

点评：本题考查三角恒等变换与数量积的意义，三角恒等变换是高考重要内容，它与向量的结合是近年高考中常出现的题型．