Question

设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R
（1）若f（1）=2，求a值；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数奇偶性的判断

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据f（1）=2，函数f（x）=x²+|x-a|+1，求得 a的值．
（2）对于函数 f（x）=x²+|x-a|+1，分当a=0时、和当a≠0时两种情况，分别讨论f（x）的奇偶性．
（3）①当x≤a时，f（x）=x²-x+a-1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

，分a＞

1

2

时和a≤

1

2

时两种情况，分别求得函数f（x）的最小值．②当x＞a 时，f（x）=x²+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，分a＞-

1

2

时和当a≤-

1

2

时两种情况，分别求得函数f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵f（1）=2，函数f（x）=x²+|x-a|+1，
∴1+|1-a|+1=2，求得 a=1．
（2）对于函数 f（x）=x²+|x-a|+1，
当a=0时，f（x）=x²+|x|+1为偶函数，
当a≠0时，f（x）=x²+|x|+1为非奇非偶函数．
（3）①当x≤a时，f（x）=x²-x+a-1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

，
若a＞

1

2

时，函数f（x）的最小值为f（

1

2

）=a+

3

4

；若a≤

1

2

时，函数f（x）的最小值为f（a）=a²+1．
②当x＞a 时，f（x）=x²+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，
若a＞-

1

2

时，函数f（x）的最小值为f（a）=a²+1；若a≤-

1

2

时，函数f（x）的最小值为f（-

1

2

）=-a+

3

4

．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的奇偶性的判断，求二次函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．