Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

(1-an)(1+an)

．
（1）设c_n=

1

bn-1

，求证：数列{c_n}是等差数列，并求b_n的通项公式；
（2）求S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=-1+

1

bn-1

，由此能证明数列{c_n}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，并能求出b_n=

n+2

n+3

．
（2）由a_n=1-b_n=

1

n+3

，利用裂项求和法能求出S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1的值．

解答： （1）证明：∵b_n+1-1=

1

2-bn

-1，
∴

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=-1+

1

bn-1

，
∵c_n=

1

bn-1

，a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，
∴c1=

1

b1-1

=

1

- 1 4

=-4，
∴∴数列{c_n}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，
∴c_n=

1

bn-1

=-4+（n-1）•（-1）=-n-3．
∴b_n=

n+2

n+3

．
（2）∵a_n=1-b_n=

1

n+3

，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1
=

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．