Question

已知x=-2是函数f（x）=

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2

x²e^x+nx³的一个极值点，其中n∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′(x)=xex+

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x2ex+3nx2，由题意知f′（-2）=-2e^-2+2e^-2+12n=0，解得n=0，由此能求出f（x）单调区间．
（2）f（x）=

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2

x²e^x，由导数性质求出当x∈[-2，2]时，f（x）_min=0，由题意得到m＜f（x）_min=0．由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

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x²e^x+nx³，∴f′(x)=xex+

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x2ex+3nx2，
∵x=-2是函数f（x）=

1

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x²e^x+nx³的一个极值点，
∴f′（-2）=-2e^-2+2e^-2+12n=0，解得n=0，
由f′(x)=xex+

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x2ex＞0，得x＞0，或x＜-2，
由f′(x)=xex+

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2

x2ex＜0，得-2＜x＜0．
∴f（x）单调增区间为（-∞，-2）和（0，∞）；单调减区间为（-2，0）．
（2）由（1）知f（x）=

1

2

x²e^x，x∈[-2，0）时，f（x）是减函数，
x∈（0，2]时，f（x）是增函数，
f（-2）=

2

e2

，f（0）=0，f（2）=2e²，
∴当x∈[-2，2]时，f（x）_min=0，
当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，
∴m＜f（x）_min=0．
∴实数m的取值范围是{m|m＜0}．

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．