Question

已知函数f（x）=1-

2

3x+1

．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）在其定义域上是增函数；
（3）函数g（x）=x³•f（x），求证：g（x）≥0．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先判断f（x）的定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义可得结论；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义可得结论；
（3）由函数奇偶性的性质可得函数g（x）是偶函数，当x≥0时，根据f（x）≥0，又x³≥0，可得g（x）≥0，进而根据偶函数的性质可得x＜0时，f（x）＞0，综合讨论结果可得答案．

解答： 解：（1）f（x）的定义域是R关于原点对称，
且f（-x）=1-

2

3-x+1

=1-

2•3x

3x+1

=

3x+1-2•3x

3x+1

=

-3x+1

3x+1

=-1+

2

3x+1

=-（1-

2

3x+1

）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
证明：（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(1-

2

3x1+1

)-(1-

2

3x2+1

)=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵y=3^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，即：3x1-3x2＜0．又3^x＞0，
∴3x1+1＞0，3x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即：f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在R上是增函数．
（3）函数g（x）是偶函数，所以只需研究x≥0的情形，
当x≥0时，
∵f(x)=

3x-1

3x+1

，3^x≥1，
∴3^x-1≥0，
∴f（x）≥0，又x³≥0，
∴x≥0时，g（x）≥0，
又g（x）为偶函数，
∴当x＜0时，f（x）＞0，
∴对x∈R，f（x）≥0

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断与证明，函数性质的综合应用，是函数图象和性质的综合考查，难度中档．