Question

已知定义域为x∈[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；          
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若对于任意x∈[0，1]，总有a＞[f（x）]²+f（x）+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）直接取x₁=1，x₂=0利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）可得：f（0）≤0，再结合已知条件f（0）≥0即可求得f（0）=0；
（2）由0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），即f（x）在[0，1]内是增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）；
（3）令t=f（x）∈[0，1]，则y=[f（x）]²+f（x）+1=t²+t+1在[0，1]内是增函数，求出最大值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）
∴f（1+0）≥f（1）+f（0），
∴f（0）≤0，
∵f（0）≥0，
故f（0）=0．
（2）∵0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂）．
∴f（x）在[0，1]内是增函数，
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1
因此，当x=1时，f（x）有最大值为1；
（3）令t=f（x）∈[0，1]，则
∵f（x）在[0，1]内是增函数，
∴y=[f（x）]²+f（x）+1=t²+t+1在[0，1]内是增函数，
∴x∈[0，1]，y_max=3，
∵对于任意x∈[0，1]，总有a＞[f（x）]²+f（x）+1恒成立，
∴a＞3．

点评：本题主要是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的基础上再做题．