Question

已知函数f（x）=a-

1

2x+1

．
（1）确定a的值，使f（x）为奇函数
（2）求证：f（x）在R上总为增函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）根据奇函数的定义，容易求出a的值．
（2）求f′（x），根据f′（x）的符号容易证明函数f（x）为增函数．
（3）根据（1）得到：f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，根据2^x的范围：2^x＞0，可得2x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，从而求得

1

2

-

1

2x+1

的范围，即求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

；
解得：a=

1

2

．
（2）f′（x）=

2xln2

(2x+1)2

＞0；
∴函数f（x）在R上为增函数．
（3）由（1）知f(x)=

1

2

-

1

2x+1

；
∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，-1＜-

1

2x+1

＜0，∴-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；
故函数f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)．

点评：考查奇函数的概念，函数导数符号和函数单调性的关系，注意第三问求值域的方法：由2^x的范围，根据不等式的运算得出的．