Question

7．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A，B，C三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． π

Answer 1

分析 由题意可求三角形的三边长为sinα、sinβ、sin（α+β），设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cosθ=-cos（α+β），结合角的范围利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，利用正弦定理可求三角形外接圆的半径，利用圆的面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：由题意可得：|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin（α+β），
设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ，
则由余弦定理可得，cosθ=$\frac{si{n}^{2}α+si{n}^{2}β-si{n}^{2}（α+β）}{2sinαsinβ}$
=$\frac{si{n}^{2}α+si{n}^{2}β-（sinαcosβ）^{2}-（cosαsinβ）^{2}}{2sinαsinβ}$-cosαcosβ
=$\frac{si{n}^{2}α（1-co{s}^{2}β）+si{n}^{2}β（1-co{s}^{2}α）}{2sinαsinβ}$-cosαcosβ
=sinαsinβ-cosαcosβ
=-cos（α+β），
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴α+β∈（0，π）
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=sin（α+β）
设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R=$\frac{sin（α+β）}{sin（α+β）}$=1，
∴R=$\frac{1}{2}$，
∴外接圆的面积S=πR²=$\frac{π}{4}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．