Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=120°，PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F为棱PB，PC中点，二面角F-AD-C的平面角的余弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
（1）求棱PA的长；
（2）求PD与平面ADFE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连接OD，PO，证明PO⊥平面ABCD，建立坐标系，利用向量方法求棱PA的长；
（2）平面ADFE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，3），$\overrightarrow{PD}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），利用向量方法求求PD与平面ADFE所成角的正切值．

解答 解：（1）如图，取AB中点O，连接OD，PO，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=120°，
∴OD⊥AB，
∵AB⊥PD，PD∩OD=D，
∴AB⊥平面POD，
∴AB⊥PO，
∵O为AB的中点，∴PA=PB．
∵平面PAB⊥平面ABCD，PO⊥AB，
∴PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥OD，
建立如图所示的坐标系，设OP=h，平面FAD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则∵$\overrightarrow{FD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，-$\frac{h}{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x+y-\frac{h}{2}z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\frac{3\sqrt{3}}{6}$），
取平面ACD的法向量为$\overrightarrow{OP}$=（0，0，h），则$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{4+\frac{27}{{h}^{2}}}•h}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，∴h=$\sqrt{3}$，
∴PA=$\sqrt{1+3}$=2；
（2）平面ADFE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，3），$\overrightarrow{PD}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），
设PD与平面ADFE所成角为α，则sinα=|$\frac{|\sqrt{3}-3\sqrt{3}|}{\sqrt{13}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}$，
∴tanα=$\frac{\sqrt{22}}{11}$．

点评 本题考查空间线面位置关系，线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．