Question

8．一个多面体的直观图如图1所示，其正（主）视图，侧（左）视图，俯视图如图2所示．
（1）若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA₁的中点，求证；OE∥平面A₁C₁C；
（2）求平面AA₁D₁与平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，交于O点，则OE∥A₁C，由此能证明OE∥平面A₁C₁C．
（2）分别取A₁D₁，B₁C₁的中点M，N，连结AM，CN，MN，推导出∠MAC为平面AA₁D₁与平面ABCD所成二面角的平面角，由此能求出平面AA₁D₁与平面ABCD所成二面角的余弦值．

解答 证明：（1）如图，连结AC，BD，交于O点，
∵E为AA₁的中点，O为AC的中点，
∴E为AA₁的中点，O为AC的中点，
∴在△AA₁C中，OE为△AA₁C的中位线，
∴OE∥A₁C，
∵OE?平面A₁C₁C，A₁C?平面A₁C₁C，
∴OE∥平面A₁C₁C．
解：（2）分别取A₁D₁，B₁C₁的中点M，N，连结AM，CN，MN，
平面AMN⊥平面ABCD，
∵BD⊥AC，∴BD⊥AM，
过A作直线l∥BD，∴AM⊥l，AC⊥l，
∴∠MAC为平面AA₁D₁与平面ABCD所成二面角的平面角，
在Rt△AMH中，由题意AH=$\frac{\sqrt{2}}{4}a，MH=a$，
由勾股定理得AM=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{4}a）^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}a$，
∴cos∠MAH=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{4}}{\frac{3\sqrt{2}}{4}a}$=$\frac{1}{3}$，
∴平面AA₁D₁与平面ABCD所成二面角的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面解和余弦值的求法，是中档题，解题时 要认真审题，注意空间思维能力的培养．