Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
（Ⅱ）若g（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），且关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设u（x）=2^x+1，运用指数，对数函数的单调性判断证明．
（2）转化为-m=f（x）值域求解范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log₂（2^x+1）
∴u（x）=2^x+1，
∵设x₁＜x₂，2 x1＜2 x2，0＜2 x1+1＜2 x2+1，
∴0＜u（x₁）＜u（x₂），
∴log

u(x) 2

＜log

u(x) 2

，
f（x₁）＜f（x₂）
∵x₁＜x₂，∴函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增，
（2）设t（x）=2^x-1，（1≤x≤2），1≤t（x）≤3，0≤log

t(x) 2

≤lo

g

3 2

∵于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，
∴g（x）=m+f（x）=0，
0≤-m≤lo

g

3 2

，
故m的取值范围．[-log

3 2

，0]

点评：本题综合考查了指数函数，对数函数的单调性，函数的定义，不等式，方程与函数的关系，属于中档题．