Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（-2，0），C（1，0），分别以△ABC的边AB、AC向外作正方形ABEF与ACGH，
（I）求直线FH的一般式方程；
（II）过直线FH上任意一点P作圆x²+y²=1的切线，当切线长最短时求出P点坐标；
（III）过点（6，2）作圆x²+y²=1的两条切线，切点为M，N，求直线MN的一般式方程．

Answer 1

分析 （1）设F（x，y），列方程求出F，H的坐标，得出FH的方程；
（2）过圆心O向直线FH作垂线，垂足即为P点；
（3）设M（x，y），R（6，2），根据OM⊥RM，列方程化简即可得出MN的方程．

解答 解：（1）∵点A（0，2），B（-2，0），C（1，0），
∴k_AB=1，k_AC=-2，AB=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{5}$，
∴k_AF=-1，k_AH=$\frac{1}{2}$，
设F（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-2}{x}=-1}\\{\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴F（-2，4），同理可得H（2，3），
∴直线FH的方程为$\frac{y-3}{4-3}=\frac{x-2}{-2-2}$，化简得x+4y-14=0．
（2）设切点为Q，则OQ⊥PM，由勾股定理可得OP²=OQ²+PQ²，
∴当OP最小时，切线长PQ取得最小值．
当OP取得最小值时，OP⊥FH，设P（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=4}\\{x+4y-14=0}\end{array}\right.$，解得$P（\frac{14}{17}，\frac{56}{17}）$．
（3）设M（x，y），R（6，2），则k_RM•k_OM=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{\frac{y-2}{x-6}•\frac{y}{x}=-1}\end{array}\right.$，化简得：6x+2y-1=0．
∴直线MN的一般式方程为6x+2y-1=0．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，直线方程，属于中档题．