Question

5．已知△ABC中，点A的坐标为（2sinx，cosx），点B的坐标为（sinx，-2$\sqrt{3}$sinx）（x∈R），f（x）=$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$+m+1（O为坐标原点），求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 根据平面向量数量积的坐标运算求出f（x），利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，由此求出f（x）的单调递增区间．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（2sinx，cosx），$\overrightarrow{OB}$=（sinx，-2$\sqrt{3}$sinx），
∴f（x）=$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$+m+1
=2sin²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx
=2•$\frac{1-cos2x}{2}$-$\sqrt{3}$sin2x+m+1
=-cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+m+2
=-2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x）+m+2
=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+2，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{4π}{3}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函数y=f（x）的单调递增区间是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换问题，也考查了三角函数的单调性问题，是中档题．