Question

设函数f（x）=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求证：lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

（n∈N^*且n≥2）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx，利用导数法分析函数的单调性，进而可得f（x）的极值；
（Ⅱ）求出函数的导数，对a进行分类讨论，进而可得f（x）的单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：当a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx在（1，+∞）上为增函数，又由f（1）=0，可得f（x）=

1-x

x

+lnx＞0在（1，+∞）上恒成立，即lnx＞1-

1

x

在（1，+∞）上恒成立，进而利用对数的运算性质，可得答案．

解答： 解：（I）当a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx，
∴f′（x）=

-1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
∵当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
故当x=1时，函数存在极小值0，无极大值；
（II）∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，
∴f′（x）=

-a

(ax)2

+

1

x

=

x-a

x2

，
当a≤0时，f′（x）＞0 恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数，
当a＞0时，当x∈（0，

a

）时，f′（x）＜0，当x∈（

a

，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，

a

）上为减函数，在（

a

，+∞）上为增函数；
（Ⅲ）由（I）得：当a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx在（1，+∞）上为增函数，
又由f（1）=0，
故f（x）=

1-x

x

+lnx＞0在（1，+∞）上恒成立，
即lnx＞

x-1

x

在（1，+∞）上恒成立，
∴lnx＞1-

1

x

在（1，+∞）上恒成立，
∴ln2＞

1

2

，
ln

3

2

＞

1

3

，
ln

4

3

＞

1

4

，
…，
ln

n

n-1

＞

1

n

，
累加得：ln2+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，解不等式，以及不等式的证明，是一道综合题．