Question

18．f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+3x-（a+3）lnx（a＞-$\frac{3}{2}$）
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程，
（2）讨论f（x）的单调性，
（3）?a∈[1，2]，?x∈[1，3]，f（x）≥ta²恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出导数，并分解因式，讨论当a=0，a＞0，-$\frac{3}{2}$＜a＜0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（3）对任意a∈[1，2]及x∈[1，3]时，恒有f（x）≥ta²恒成立等价于f（x）_min≥ta²，由（2）可得f（x）的单调性，可得最小值，再由参数分离，可得t≤$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2a}$，a∈[1，2]时恒成立，令g（a）=$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2a}$，求出导数，判断单调性，求得最小值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x²+3x-4lnx的导数为f′（x）=x+3-$\frac{4}{x}$，
可得曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为1+3-4=0，切点为（1，$\frac{7}{2}$），
故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-$\frac{7}{2}$=0（x-1），
即有y=$\frac{7}{2}$；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+3x-（a+3）lnx（a＞-$\frac{3}{2}$）的导数为：
f′（x）=ax+3-$\frac{a+3}{x}$=$\frac{（x-1）（ax+a+3）}{x}$，
当a=0时，f′（x）=$\frac{3（x-1）}{x}$，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
当a＞0时，-$\frac{a+3}{a}$＜1，可得当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
当-$\frac{3}{2}$＜a＜0时，-$\frac{a+3}{a}$＞1，可得当0＜x＜1或x＞-$\frac{a+3}{a}$时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1＜x＜-$\frac{a+3}{a}$，时，f′（x）＞0，f（x）递增．
综上可得，当a≥0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
当-$\frac{3}{2}$＜a＜0时，f（x）在（0，1），（-$\frac{a+3}{a}$，+∞）递减；在（1，-$\frac{a+3}{a}$）递增．
（3）由题意可知，对任意a∈[1，2]及x∈[1，3]时，恒有f（x）≥ta²恒成立等价于
f（x）_min≥ta²，
由（2）可得当a≥0时，f（x）在x∈[1，3]上递增，f（x）的最小值为f（1）=$\frac{1}{2}$a+3，
任意a∈[1，2]时，$\frac{1}{2}$a+3≥ta²恒成立，
∴t≤$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2a}$，a∈[1，2]时恒成立，
令g（a）=$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2a}$，由g′（a）=-$\frac{6}{{a}^{3}}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}^{2}}$＜0，
可得g（a）在[1，2]递减，即有g（a）的最小值为g（2）=1，
则实数t的取值范围为t≤1．

点评 本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性及最值及恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强．