Question

设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y轴方向伸长为原来5倍的伸压变换．

（1）求直线4x﹣10y=1在M作用下的方程；

（2）求M的特征值与特征向量．

 

Answer 1

（1）4x﹣2y=1．

（2）当λ1=1时，由Mα1=λ1α1，得特征向量；

当λ2=5时，由Mα2=λ2α2，得特征向量．

【解析】

试题分析：（1）先求伸压变换，再求出点的变换规律，代入4x﹣10y=1，从而求出方程；（2）由矩阵M的特征多项式，所以M的特征值为λ1=1，λ2=5，进而求出对应的特征向量．

（1）．设（x'，y'）是所求曲线上的任一点，，

所以所以代入4x﹣10y=1得，4x'﹣2y'=1，

所以所求曲线的方程为4x﹣2y=1．

（2）矩阵M的特征多项式，

所以M的特征值为λ1=1，λ2=5．

当λ1=1时，由Mα1=λ1α1，得特征向量；

当λ2=5时，由Mα2=λ2α2，得特征向量．