Question

已知数列{4ⁿ-2ⁿ}（n∈N^*）的前n项和为S_n，b_n=

2n

Sn

，则数列{b_n}的前n项和T_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：首先运用分组求和，运用等比数列的求和公式求得S_n，再运用裂项相消求和，即可得到数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：S_n=（4-2）+（4²-2²）+…+（4ⁿ-2ⁿ）
=（4+4²+…+4ⁿ）-（2+2²+…+2ⁿ）
=

4(1-4n)

1-4

-

2(1-2n)

1-2

=

2

3

（2•4ⁿ-3•2ⁿ+1），
则b_n=

2n

Sn

=

3

2

•

2n

2•4n-3•2n+1

=

3

2

•

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

3

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

），
则有T_n=

3

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

7

+

1

7

-

1

15

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=

3

2

（1-

1

2n+1-1

）．
故答案为：

3

2

（1-

1

2n+1-1

）

点评：本题考查等比数列的求和公式，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．