Question

下列四个命题：
（1）函数y=x+

1

x

的最小值是2；
（2）函数y=x²+

1

x2

的最小值是2；
（3）函数y=

x2+3

x2+2

的最小值是2；
（4）函数y=2-3x-

4

x

（x＞0）的最大值是2-4

3

．
其中错误的命题个数是（　　）

• A、2
• B、4
• C、3
• D、1

Answer 1

考点：基本不等式

专题：高考数学专题,简易逻辑

分析：（1）分类求出函数的值域加以判断；
（2）直接利用基本不等式求出函数的最小值判断；
（3）把分式拆分后利用基本不等式求最值判断；
（4）利用基本不等式求出函数的最值判断．

解答： 解：（1）当x＞0时，y=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，
当x＜0时，y=-(-x-

1

x

)≤-2

(-x)•(- 1 x )

=-2．
∴y=x+

1

x

的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞），无最小值，故错误；
（2）y=x2+

1

x2

的值域为[2，+∞），最小值为2，正确；
（3）y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2，
当且仅当

x2+2

=

1

x2+2

，即x²=-1，不成立，故错误；
（4）y=2-3x-

4

x

=2-(3x+

4

x

)≤2-2

12

=2-4

3

，故正确．
故选：A．

点评：本题考查了利用基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数的最值注意：一正、二定、三相等，是中档题．