Question

14．如图，正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，E，F分别为SA，SD的中点．
（1）当SA=$\sqrt{5}$时，证明：平面BEF⊥平面SAD；
（2）若平面BEF与底面ABCD所成的角为$\frac{π}{3}$，求S-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，证明$\overrightarrow{SG}•\overrightarrow{EF}=0$，$\overrightarrow{SG}•\overrightarrow{EB}=0$，可得SG⊥EF，SG⊥EB，即可证明SG⊥平面BEF，从而证明平面BEF⊥平面SAD；
（2）利用向量法求出四棱锥的高，利用四棱锥的体积公式，求出S-ABCD的体积．

解答 （1）证明：连接AC交BD于点O，分别以OA，OB，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为$SA=\sqrt{5}$，所以$OS=\sqrt{3}$，则$S（0，0，\sqrt{3}）$，$A（\sqrt{2}，0，0），D（0，-\sqrt{2}，0），B（0，\sqrt{2}，0）$，$E（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），F（0，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
设G是AD的中点，则$G（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，$\overrightarrow{SG}=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{EF}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，$\overrightarrow{EB}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
因为$\overrightarrow{SG}•\overrightarrow{EF}=0$，$\overrightarrow{SG}•\overrightarrow{EB}=0$，所以SG⊥EF，SG⊥EB，
因为EF?平面BEF，EB?平面BEF，所以SG⊥平面BEF，
又SG?平面SAD，所以平面BEF⊥平面SAD．-------------（6分）
（2）解：设OS=h，则S（0，0，h），$E（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{h}{2}），F（0，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{h}{2}）$，
则$\overrightarrow{EF}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0），\overrightarrow{EB}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}，-\frac{h}{2}）$，设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{EB}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}y=0}\\{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+\sqrt{2}y-\frac{hz}{2}=0}\end{array}}\right.$，令x=1，则$y=-1，z=-\frac{{3\sqrt{2}}}{h}$．
所以$\overrightarrow{n_1}=（1，-1，-\frac{{3\sqrt{2}}}{h}）$，取平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（0，0，1）$，
则根据题意可得$cos{60°}=|\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}|$，即$\frac{1}{2}=\frac{{\frac{{3\sqrt{2}}}{h}}}{{\sqrt{2+\frac{18}{h^2}}}}$，解得$h=3\sqrt{3}$，
所以${V_{S-ABCD}}=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×4=4\sqrt{3}$．-----------（12分）

点评 本题考查线面、平面与平面垂直的判定，考查四棱锥体积的计算，考查向量法的运用，正确运用向量方法是关键．