Question

4．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为两平面向量，且|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=1，＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=60°．
（1）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-6$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求证：A，B，D三点共线；
（2）若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₂，$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₁-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据三点共线的条件判断$\overrightarrow{BD}$∥$\overrightarrow{AB}$，即可．
（2）根据向量垂直的等价条件转化为$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，解方程即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=1，＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=60°．
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{1}}$|cos60°=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（1）$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-6$\overrightarrow{{e}_{2}}$+3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-5$\overrightarrow{{e}_{1}}$=5（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$）=5$\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{BD}$∥$\overrightarrow{AB}$，
即A，B，D三点共线；
（2）若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₂，$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₁-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₂）•（λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₁-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，
即λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$²-2λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₂²+（2λ²-1）$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₁•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0
则λ-2λ+（2λ²-1）×$\frac{1}{2}$=0，
即2λ²-2λ-1=0，
则λ=$\frac{2±\sqrt{4+8}}{4}$=$\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1±\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，利用向量平行和向量垂直的向量公式进行转化，建立方程是解决本题的关键．