Question

f（x）对任意x∈R都有．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+，数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令．试比较T_n与S_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接代入x=求得的值，代入x=求得的值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中=，利用倒序相加法进行求解．
（Ⅲ）求得，进而求得Tn，利用放缩法得到T_n≤S_n
解答：解：（Ⅰ）因为，所以
令x=，得，即=
（Ⅱ）a_n=f（0）+
又a_n=f（1）+f（）+…f（）+f（0）
两式相加 2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（）]+[f（1）+f（0）]=
所以a_n=
又．故数列{a_n}是等差数列．
（Ⅲ）T_n=b₁²+b₂²++b_n²=
=
=．所以T_n≤S_n
点评：本题是数列与函数的综合题，考查了倒序相加法，放缩法等高中的数学基本方法，应该熟练掌握