Question

（2012•广东模拟）设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+

1

2

．
（1）求f(

1

2

)和f(

k

n

)+f(

n-k

n

)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)-f(

1

2

)，数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明；
（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，{a_n}是满足（2）中条件的数列，
证明：

s

n=1

|

(m+1)nan+1

-

(kn+n+k+1)an

|＜(

s+1

2

)2|

m

-

k

|（s=1，2，…）．

Answer 1

分析：（1）直接根据f(x)=f(x-1)+

1

2

，且f（x）是奇函数把

1

2

代入即可求出f(

1

2

)；再结合奇函数得到f(x)+f(1-x)=

1

2

；把x=

k

n

代入即可得到f(

k

n

)+f(

n-k

n

)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）先设sn=f(0)+f(

1

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)，利用倒序相加法结合第一问的结论，求出sn=

n+1

4

，进而求出数列{a_n}的通项公式，再根据定义即可证得数列{a_n}是等差数列；
（3）先根据第一问的结论把问题转化，再利用基本不等式对其放缩即可得到结论．

解答：解：（1）∵f(x)=f(x-1)+

1

2

，且f（x）是奇函数
∴f(

1

2

)=f(

1

2

-1)+

1

2

=f(-

1

2

)+

1

2

=-f(

1

2

)+

1

2

∴2f(

1

2

)=

1

2

，故f(

1

2

)=

1

4

…（2分）
因为f(x)=f(x-1)+

1

2

=-f(1-x)+

1

2

，所以f(x)+f(1-x)=

1

2

．
令x=

k

n

，得f(

k

n

)+f(1-

k

n

)=

1

2

，即f(

k

n

)+f(

n-k

n

)=

1

2

．…（4分）
（2）设sn=f(0)+f(

1

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)
又sn=f(1)+f(

n-1

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)
两式相加2sn=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(1)+f(0)]=

n+1

2

．
所以sn=

n+1

4

，…（6分）
故an=sn-f(

1

2

)=

n+1

4

-

1

4

=

n

4

，n∈N*…（7分）
又an+1-an=

n+1

4

-

n

4

=

1

4

．故数列{a_n}是等差数列．…（8分）
（3）∵

s

n=1

|

(m+1)nan+1

-

(kn+n+k+1)an

|
=

s

n=1

|

(m+1)n  (n+1) 4

-

(k+1)(n+1) n 4

|
=

1

2

|

m+1

-

k+1

|

s

n=1

n(n+1)

要证：

s

n=1

|

(m+1)nan+1

-

(kn+n+k+1)an

|＜(

s+1

2

)2|

m

-

k

|（s=1，2，…）
即 

1

2

|

m+1

-

k+1

|

s

n=1

n(n+1)

＜(

s+1

2

)2|

m

-

k

|…（10分）
∵

n×(n+1)

＜

n+n+1

2

=

2n+1

2

∴

1×2

+

2×3

+…+

s×(s+1)

＜

3

2

+

5

2

+…+

2s+1

2

=

s(3+2s+1) 2

2

=

s2+2s

2

＜

(s+1)2

2

即

s

n=1

n(n+1)

＜

(s+1)2

2

，从而

1

2

s

n=1

n(n+1)

＜(

s+1

2

)2…（12分）
又∵|

m+1

-

k+1

|＜|

m

-

k

|恒成立，
所以有

1

2

|

m+1

-

k+1

|

s

n=1

n(n+1)

＜(

s+1

2

)2|

m

-

k

|恒成立
即

s

n=1

|

(m+1)nan+1

-

(kn+n+k+1)an

|＜(

s+1

2

)2|

m

-

k

|（s=1，2，…）…（14分）

点评：本题主要考察数列与不等式的综合问题．解决本题第一问的关键在于利用奇函数的性质得到f(x)+f(1-x)=

1

2

．而解决第二问的关键在于用到了倒序相加求和．