Question

设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f(x+3)=-

1

f(x)

，且当x∈[-3，-2]时，f（x）=2x，则f（2009.5）=

1

5

．

Answer 1

分析：先通过f（x+3）=-

1

f(x)

可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f（2009.5）=f（5.5）；根据f（x+3）=-

1

f(x)

可求得f（5.5）=

1

f(2.5)

；再结合其为偶函数得到f（2.5）=f（-2.5），最后结合x∈[-3，-2]时，f（x）=2x即可求得结论..

解答：解：因为f（x+3）=-

1

f(x)

⇒f（x+6）=-

1

f(x+3)

=f（x）．
故函数周期T=6．
∴f（2009.5）=f（334×6+5.5）=f（5.5）
结合其为偶函数以及x∈[-3，-2]时，f（x）=2x可得：f（5.5）=-

1

f(2.5)

=-

1

f(-2.5)

=-

1

2×(-2.5)

=

1

5

．
故答案为：

1

5

．

点评：本题主要考查了函数的周期性，要特别利用好题中f（x+3）=-

1

f(x)

的关系式．