题目内容

定义在R上的函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+2）=
1-f(x)
1+f(x)
，f（2）=
1
4
，则f（2010）等于（　　）
A、
1
4
B、
1
2
C、
1
3
D、
3
5
分析：直接利用条件求出前几项，发现其规律为偶数中4的倍数对应的为
3
5
，不是4的倍数对应的值为
1
4
，即可求得结论．
解答：解：由条件f（2）=
1
4
以及f（x+2）=
1-f(x)
1+f(x)
得，f（4）=
1-
1
4
1+
1
4
=
3
5
，f（6）=
1-
3
5
1+
3
5
=
1
4
；?f（8）=
3
5
，f（10）=
1
4
…
即偶数中4的倍数对应的为
3
5
，不是4的倍数对应的值为
1
4
．
而2010不能被4整除，故f（2010）=
1
4
．
故选A．
点评：本题是对抽象函数周期性的考查．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键
练习册系列答案
相关题目
定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，
π
2
]时，f（x）=sinx，则f（
5π
3
）的值为
 
．
20、已知定义在R上的函数f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在区间[-3，3]上的单调性．
定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，当x∈（0，4）时，f（x）=x2-1，则f（2010）=
 
．
已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数y=sin（2x+
π
3
）图象所有对称中心都在f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．
已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）

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