Question

函数y=f（x）满足lg（lgy）=lg3x+lg（3-x），
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）的递减区间．

Answer 1

考点：对数的运算性质,指数函数综合题,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由lg（lgy）=lg3x+lg（3-x），可得lg（lgy）=lg[3x（3-x）]，0＜x＜3．lgy=3x（3-x），即可得出．
（2）令u=3x（3-x）=-3(x-

3

2

)2+

27

4

，在(0，

3

2

)上单调递增，在[

3

2

，3)上单调递减；而10^u是增函数，即可得出f(0)＜f(x)≤f(

3

2

)，
（3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为[

3

2

，3)．

解答： 解：（1）∵lg（lgy）=lg3x+lg（3-x），
∴lg（lgy）=lg[3x（3-x）]，0＜x＜3．
∴lgy=3x（3-x），
∴f（x）=y=10^3x（3-x），x∈（0，3）．
（2）令u=3x（3-x）=-3(x-

3

2

)2+

27

4

，在(0，

3

2

)上单调递增，在[

3

2

，3)上单调递减；而10^u是增函数．
∴f(0)＜f(x)≤f(

3

2

)，
∴f（x）的值域为(1，10

27

4

]．
（3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为[

3

2

，3)．

点评：本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．