Question

3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=a-1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（其中参数t∈R，a为常数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求曲线C普通方程；
（2）已知直线l曲线C交于A，B且|AB|=$\sqrt{5}$，求常数a的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的方程为，ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），即ρ²=2$\sqrt{2}ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ），利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：t²+at+a²-2=0，△＞0，由参数t的含义知：|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，把根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（1）曲线C的方程为，ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），
即ρ²=2$\sqrt{2}ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ），
可得直角坐标方程：x²+y²=2x-2y，
配方后为（x-1）²+（y+1）²=2．
（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：$\frac{3}{4}{t}^{2}$+$（a+\frac{1}{2}t）^{2}$=2，化为t²+at+a²-2=0，
△=a²-4（a²-2）＞0，解得a²$＜\frac{8}{3}$．
∴t₁+t₂=-a，t₁•t₂=a²-2，
由参数t的含义知：|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-4×（{a}^{2}-2）}$=$\sqrt{5}$，
化为8-3a²=5，化为a²=1，满足△＞0，解得a=±1，
综上：常数a的值为±1．

点评 本题考查了极坐标好奇直角坐标方程、参数方程的应用、直线与圆相交转化为一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．