Question

18．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C₁的极坐标方程是ρ=$\sqrt{2}$，把C₁上各点的纵坐标都压缩为原来的$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$倍，得到曲线C₂，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x={x_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y={y_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C₁与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），直线l与曲线C₂交于A，B两点，若|MA|•|MB|=$\frac{8}{3}$，求点M轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程是ρ=$\sqrt{2}$，可得直角坐标方程：x²+y²=2．设点P（x′，y′）是曲线C₂上任一点，则$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=x\\{y^'}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}y\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x={x^'}\\ y=\sqrt{2}{y^'}\end{array}\right.$，代入曲线C₁即可得出．
（II）由直线l与曲线C₂相交可得：$\frac{{3{t^2}}}{2}+\sqrt{2}t{x_0}+2\sqrt{2}t{y_0}+x_0^2+2y_0^2-2=0$，利用根与系数的关系及其|MA|•|MB|=$\frac{8}{3}$，可得点M轨迹的直角坐标方程．再利用△≥0即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程是ρ=$\sqrt{2}$，可得直角坐标方程：x²+y²=2．
设点P（x′，y′）是曲线C₂上任一点，则$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=x\\{y^'}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}y\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x={x^'}\\ y=\sqrt{2}{y^'}\end{array}\right.$，
代入曲线C₁可得：（x′）²+2（y′）²=2，
∴曲线C₂的直角坐标方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（II）由直线l与曲线C₂相交可得：$\frac{{3{t^2}}}{2}+\sqrt{2}t{x_0}+2\sqrt{2}t{y_0}+x_0^2+2y_0^2-2=0$，
$|MA|•|MB|=\frac{8}{3}$$⇒|\frac{x_0^2+2y_0^2-2}{{\frac{3}{2}}}|=\frac{8}{3}$，即：$x_0^2+2y_0^2=6$，x²+2y²=6表示一椭圆，
取y=x+m代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得：3x²+4mx+2m²-2=0，
由△≥0得$-\sqrt{3}≤m≤\sqrt{3}$，
故点M的轨迹是椭圆x²+2y²=6夹在平行直线$y=x±\sqrt{3}$之间的两段弧．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．